漫談投資組合的幾何增值理論
漫談投資組合的幾何增值理論 從擲硬幣打賭看投資組合問題 什么是投資組合？首先我們從擲硬幣打賭談起。 假設(shè)有一種可以不斷重復(fù)的投資或打賭，其收益由擲硬幣確定，硬幣兩面出現(xiàn)的可能性 相同； 出A面你投一虧一，出B面你投一賺二；假設(shè)你開始只有100元，輸了沒法再借。現(xiàn)在問怎 樣重復(fù)下注可以使你盡快地由百元戶變?yōu)榘偃f元戶? 我們可以象小孩子玩登山棋那樣，幾個人下不同的賭注，然后重復(fù)擲硬幣，看誰最先變 成百萬富翁。你可能為了盡快地變?yōu)榘偃f富翁而全部押上你的資金。 可是只要有一次你輸了，你就變成窮光蛋，并且永遠失去發(fā)財機會。你可能每次下注10 元。但是，如果連輸10次，你就完了。再說，如果你已經(jīng)是萬元戶了，下10元是不是太 少了? 每次將你的所有資金的10%用來下注，這也許是個不錯的主意。首先，你永遠不會虧完( 假設(shè)下注的資金可以無限小)； 第二，長此以往，贏虧的次數(shù)大致相等時，你總是賺的。假設(shè)平均兩次，你輸一次贏一 次，則你的資金會變?yōu)樵瓉淼?1+0.2)×(1- 0.1)=1.08倍?？墒?，以這樣的速度變?yōu)榘偃f富翁是不是太慢了，太急人了? 有沒有更快的方法? 有! 理論研究表明，每次將你所有資金的25%或0.25倍用來下注，你變?yōu)榘偃f富翁的平均速度 將最快。 幾個不同下注比例帶來的資金變化如圖1所示(擲幣結(jié)果分別是A, B, A, B, ...)。實驗表明，張大膽每次投100％，嬴時嬴得多，可虧時虧得慘，一次虧損就永遠被 淘汰出局。李糊涂每次下50％，收益大起大落，到頭來白忙。王保守每次下10％，穩(wěn)賺 但少賺；“你”每次下25％，長期看結(jié)果最好。 [pic] 圖1 資金增值隨幾種不同投資比例的變化 前面的打賭中，硬幣只有一個。 如果同時有兩個、三個或更多，各個硬幣盈虧幅度不同，兩面出現(xiàn)的概率（頻率或可能 性）也可能不同；怎樣確定在不同硬幣上的最優(yōu)下注比例？如果不同硬幣出現(xiàn)A面B面是 不同程度相關(guān)的(比如一個出A面，另一個十有八九相同??正相關(guān)，或相反－－反相關(guān))， 又如何確定最優(yōu)下注比例？股票、期貨、期權(quán)、放貸、房地產(chǎn)、高科技等投資象擲硬幣 打賭一樣，收益是不確定的且相互關(guān)聯(lián)的。 如何確定不同證券或資產(chǎn)上的投資比例，以使資金穩(wěn)定快速增長并控制投資風(fēng)險，這就 是投資組合理論要解決的問題。 投資組合也就是英文說的portfolio。當(dāng)今世界上著名的投資組合理論是美國的馬科維茨 (H. Markowitz)理論。筆者則從自己建立的一個廣義信息理論(參見專著《廣義信息論》，中國 科技大學(xué)出版社，1993)和自己的投資實踐出發(fā)，得到了投資組合的幾何增值理論，或者 叫熵(shang)理論（因為其中采用了同物理學(xué)和信息論中的熵函數(shù)相似的熵函數(shù)作為優(yōu)化 標準）， 并完成了專著《投資組合的熵理論和信息價值??兼析股票期貨等風(fēng)險控制》（中國科技大 學(xué)出版社，1997)。現(xiàn)在筆者知道美國的H. A. Latane 和D. L. Tuttle最早提出了用幾何平均產(chǎn)出比??即1+幾何平均收益或平均復(fù)利??作為優(yōu)化證券組 合的準則；后來T. E. Cover等人研究了用幾何平均產(chǎn)出比的對數(shù)作為優(yōu)化準則. 不同的是，筆者的研究更注重應(yīng)用。 馬科維茨理論及其缺陷 1952年，馬科維茨發(fā)表了《有家證券的選擇：有效的轉(zhuǎn)移》。這篇開創(chuàng)性的論文導(dǎo)致了一 個新理論??投資組合理論??的誕生。1990年，瑞典皇家科學(xué)院將諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎授予了 H. 馬科維茨，W. 夏普(Shape) 和W. 米勒(Miller), 以表彰它們在投資組合和證券市場理論上的貢獻。 馬科維茨用收益的期望E和標準方差?表示一種證券的投資價值和風(fēng)險。期望收益也就是 算術(shù)平均收益。收益的標準方差反映了收益的不確定性。比如對于上一節(jié)談到的擲硬幣 打賭(虧時虧一倍，嬴時嬴兩倍)，用全部資金下注時， E=P1 r1+P2 r2 =0.5×(-1)+0.5×2=0.5 ? =[P1( r1-E)2+P2( r2-E)2]0. 5=[0.5(-1-0.5)2+0.5(2-0.5)2]0.5=1.5 上式中P1=0.5和r1= -1是虧錢的概率和幅度，P2=0.5和r2=2是嬴錢的概率和幅度。根據(jù)馬科維茨理論，期望 越大越好，而標準方差越小越好。標準方差反映了收益的不確定性或投資風(fēng)險。至于兩 種證券或兩種組合，一個比另一個期望收益大，標準方差也大，那么選擇哪一個好呢？ 馬科維茨理論認為這沒有客觀標準。有人不在乎風(fēng)險而只希望期望收益越大越好，而有 人為了小一些的風(fēng)險而情愿要低一些的期望收益。 馬科維茨證明了，通過分散投資互不相關(guān)或反相關(guān)的證券，可以在不降低期望收益的情 況下，減小總的投資的標準方差(即風(fēng)險). 比如同時用兩個硬幣打賭，嬴虧幅度同樣，每種證券下注50%時, 收益的可能性有三種：1)兩邊虧，虧100％，概率是1/4=0.25; 2)一虧一嬴，嬴50％, 概率是1/2=0.5 ; 3)兩邊嬴，嬴200％，概率是1/4=0.25. 這時期望收益E=0.5不變，標準方差由1.5減小為 ?=[0.25(-1-0.5)2+0.5(0.5-0.5)2+0.25(2-0.5)]0. 5=1.06 如果兩個硬幣的嬴虧總是反相關(guān)的，比如一個出A面，另一個必定出B面，反之亦然；則 期望收益不變，標準方差為0??完全無風(fēng)險。 馬科維茨理論的成就是巨大的，但是其缺陷也是不可忽視的。缺陷之一是：不認為有客 觀的最優(yōu)投資比例，或者說并不提供使資金增值最快的投資比例(當(dāng)然也就不能解決前面 的擲硬幣打賭問題)； 缺陷之二是：標準偏差并不能很好反應(yīng)風(fēng)險。下面我們舉例說明。 例：兩種證券當(dāng)前價格皆是1元，證券I(象是期權(quán))未來價格可能是0元和2元，概率分別 為1/4和3/4（參看圖1，其中產(chǎn)出比=產(chǎn)出比=本利和/本金=1+收益)。證券II(象是可轉(zhuǎn)換 債券)的收益的期望和標準方差同樣是0.5和0.886，但是收益的概率分布以0.5為中心(產(chǎn) 出比以1.5為中心，)對稱反轉(zhuǎn)了一下.兩者投資價值分析如表1所示(這里忽略銀行利息和 交易手續(xù)費)。 [pic] 圖 1 期望和標準方差相同但風(fēng)險不同的兩個證券 表 1 期望和標準方差相同的兩種證券的投資價值分析 |　 |期望 |標準方 |下100％時平|優(yōu)化比 |優(yōu)化后平均| | | |差 |均復(fù)利 |例％ |復(fù)利比例 | |證券 I |0．5 |0．886 |－100％ |50 |15％ | |證券 II |0．5 |0．886 |32％ |100 |32％ | 表中最優(yōu)投資比例?100%意味著：如果可以貸款或透支，投更多更好。按Markowitz 理論，A和B投資價值相同，而按常識和投資組合的幾何增值理論，B遠優(yōu)于A。 對于存在大比例虧損可能的投資，比如期權(quán)、期貨、放貸(可能收不回本金)、衛(wèi)星發(fā)射 和地震保險（風(fēng)險極大而標準方差并不大），馬科維茨理論的缺陷尤為明顯。 幾何級數(shù)增值的魅力 1988- 1989年，日本股市從21564點上漲了80％，到達38921點；然后開始大跌，1992年8月跌到 14194點，跌幅達63％。雖然80％大于63％，算術(shù)平均大于0，可是總的來說是跌的，跌 了約1/3，因為累積產(chǎn)出比是 (1+0.8)(1-0.63)=0.666，累積收益是0.666-1= -0.334＝-33.4％. 炒過股票的人都知道，如果你總是將所有的資金買入股票，則先賺50% 再虧50%； 或者先虧后賺，雖然算術(shù)平均收益是0，可是你的資金會變少(變成0.5×1.5=0.75倍)?？?見算術(shù)平均收益不能反映實際增值情況。 能反映實際增值的收益是什么呢？是幾何平均收益。設(shè)每一元資金投資N年后變?yōu)镸元， 則累計產(chǎn)出比是M/1=M。 累計產(chǎn)出比的N次開方M1/N被稱為幾何平均產(chǎn)出比， 我們記為Rg, 即Rg=M1/N 。 投資的平均復(fù)利又叫幾何平均收益，我們記為rg，則有rg=Rg-1. 可見幾何平均產(chǎn)出比或幾何平均收益才能反映長期投資業(yè)績。因為 N年累積產(chǎn)出比M=RgN =(1+rg)N. 投資組合的幾何增值理論(或者說熵理論)就是用幾何平均產(chǎn)出比作為優(yōu)化投資組合的標 準，根據(jù)這一標準，使幾何平均收益達最大的投資比例就是最好的投資比例。 穩(wěn)定的幾何增長具有無比的魅力。幾何平均收益的微小優(yōu)勢，在長期累計后可能導(dǎo)致驚 人的成功。下表顯示了幾何平均收益對20年累積產(chǎn)出比的影響。 表1 幾何平均收益對20年累積產(chǎn)出比的影響 |幾何平均 |10%|15% |20%|23.8| |收益 | | | |% | |20年產(chǎn)出 |6.7|16.4|38.|71.5| |比 | | |3 | | 其中23.8%就是巴費特管理的伯克希爾公司32年里的幾何平均收益。在過去的32年里，伯 克希爾公司每股資產(chǎn)從19美元增長到19011美元，算術(shù)平均年收益大約是1000/32=3125％ ，可是幾何平均年收益只有23.8%. 美國的基金管理大師彼得·林奇之所以有成功，是因為他十年里使基金的幾何平均收益達 到30％。有人做過計算說明，雖然兩百年前美國政府從印地安人手里以極便宜的價格買 了大片土地，但是如果印地安人把錢存入銀行每年得到現(xiàn)在美國長期國債的收益，則利 滾利后，印地安人現(xiàn)在將極其富有，足以買回更大面積的土地?？梢姺€(wěn)定的幾何平均收 益的威力。 有人炒期貨看到可能的盈利幅度大于虧損幅度就大量投入；有人炒期貨還要透支。 中國人在期貨市場上破產(chǎn)的比例極大，原因就是因為許多人看不到穩(wěn)定增值的重要性。 許多股民類似，他們對收益波動極大的虧損垃圾股、莊股、新股、權(quán)證等倍加追捧；而 對收益較為穩(wěn)定的年收益達20％－30％的投資（比如認購新股)不以為然。這不能不說是 中國股市不成熟的表現(xiàn)。 筆者特別羨慕那些有穩(wěn)定收入的年輕人。只要他們有耐心，采取穩(wěn)健的策略(比如每年認 購新股，如果認購新股效益不變的話)，一、二十年后成為百萬富翁將極其容易。當(dāng)然， 對于包括筆者在內(nèi)的許多人??既不年輕又有生活壓力，要成為百萬富翁，我們當(dāng)采取更 加進取的投資策略，即選擇多種投資方式，優(yōu)化投資組合，贏得更高的幾何平均收益。 擲硬幣打賭問題的數(shù)學(xué)解答 擲硬幣打賭問題是：有一種可以不斷重復(fù)的投資或打賭，其收益由擲硬幣確定，硬幣兩 面出現(xiàn)的可能性相同； 出A面你投一虧一，出B面你投一賺二；假設(shè)你開始只有100元，輸了沒法再借?，F(xiàn)在問怎 樣重復(fù)下注可以使你盡快地由百元戶變?yōu)榘偃f元戶? 不知讀者是否記得中學(xué)學(xué)過的拋物線公式y(tǒng)=ax2+bx＋c。拋物線可以用來描述炮彈飛行軌 跡，它有一個最高點, 當(dāng)水平距離x= - b/(2a) 時，高度y達最大。下面我們說明中學(xué)數(shù)學(xué)知識如何能幫助我們盡快成為百萬富翁。 對于上面的擲硬幣打賭，幾何平均產(chǎn)出比Rg隨下注比例q的變化是 [pic] 要使Rg達最大，只需使上式右邊括號中的內(nèi)容達最大。根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)知識，q= -1/[2×(- 2)]=1/4=0.25=25%時，括號中的內(nèi)容，也即幾何平均收益Rg達最大。這就是說，對于上 面的擲硬幣打賭，25％是最優(yōu)投資比例。 [pic] 圖1 幾何平均收益rg和算術(shù)平均收益ra隨q的變化 對于上面的擲硬幣打賭，算術(shù)平均收益ra和幾何平均收益rg隨下注比例q的變化如圖1所 示。容易看出，算術(shù)平均收益rg和投資比例q成正比關(guān)系；而幾何平均收益不是，q太大 反而不好，如果q>0.5則從長遠看必然虧損。 上面假設(shè)硬幣的兩面出現(xiàn)的可能性或概率相同，即P1=P2=0.5；嬴虧幅度是給定 的（－1和2)。 如果硬幣是彎的，一面出現(xiàn)的可能性大，另一面出現(xiàn)的可能性小, P1和P2皆不等于0.5, 并且嬴虧幅度也是變的(為r1小于0和r2大于0)， 這時幾何平均收益等于 [pic] 則這時最優(yōu)比例如何求法？ 現(xiàn)在我們用H表示資金翻一番數(shù)目， 如果Rg=2， 則H=1; 如果Rg不等于2呢? 我們可以用log2Rg表示翻番數(shù)， 即 H=log2Rg=P1log(1+r1q)+P2log2(1+r2q) 這一公式很象通信理論中的熵公式，所以我們把翻番數(shù)H叫做增值熵。這樣求幾何平均收 益最大和求增值熵最大就是一回事?？上н@時不能用中學(xué)生的方法求最優(yōu)投資比例。這 時要用到大學(xué)生學(xué)到的求極值的方法(可見數(shù)學(xué)還是有用的)。令H對q的導(dǎo)數(shù)等于0可以求 出最優(yōu)投資比例是 q*= ?(P1r1+P2r2)/(r1r2). 注意上式分子括號中正好是算術(shù)平均收益。有了這一公式，我們就可以對付收益更復(fù)雜 的打賭或投資。比如重復(fù)擲骰子打賭，可能出現(xiàn)的數(shù)字是1到6；出1，2虧一倍，出3，4 ，5，6嬴一倍。P1=1/3, P2=2/3, r1= ?1, r2=1。于是可以求出最優(yōu)下注比例q*=1/3=33.3%。讀者不妨通過反復(fù)擲硬幣或擲骰子檢 驗上面結(jié)論。 股票和國債的投資組合優(yōu)化 上一節(jié)我們介紹了擲硬幣打賭下注比例的優(yōu)化公式： q*= ?(P1r1+P2r2)/(r1r2). 有人會問：剩下的資金不投資不是浪費掉了？回答是：剩下的資金如能產(chǎn)生穩(wěn)定收益更 好，即使不能產(chǎn)生，那也不是浪費。就象打仗要有后備軍一樣，風(fēng)險投資也要有后備軍 ，它能在前次投資虧損后發(fā)揮更大效用?？尚业氖?，目前深圳上海交易所允許股民同時 從事股票和國債買賣，使得股民可以用“后備軍”購買國債，同時得到穩(wěn)定的國債收益。 假設(shè)只有購買二級市場股票和購買國債兩種投資方式，股票收益近似用擲硬幣打賭收益 來模擬，即已知國債收益率r0和股票收益的概率預(yù)測P1,r1, P2, r2。如何優(yōu)化股票和國債的投資比例？這時資金的平均翻番數(shù)或增值熵變?yōu)?H=log2Rg=P1log2(1+r0q0+r1q)+P2log2(1+r0q0+r2q) 其中q0＝1－q, 是投資國債的比...
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